FFT ja Z-muunnos

Tänään luennolla käsiteltiin FFT:n loppu ja Z-muunnoksen alku sivulle 62 asti.

FFT:n yhteydessä mainittiin kurssin SGN-1600 harjoitus signaaliprosessorien käytöstä. Yhtenä osana sitä on DTMF-taajuuksien automaattinen tunnistus. Tehtävänannon menetelmä pohjautuu Fourier-muunnokseen, joskin se on toteutettu sineillä ja kosineilla. Samalla korostettiin muunnoksen tulkintaa korrelaation kautta: jokainen F-muunnoksen matriisin rivi laskee korrelaation eritaajuisen signaalin kanssa. Laajemmin ajateltuna tätä menetelmää voidaan käyttää tiedonsiirtoon; jokaisen bitin kohdalla nolla koodataan taajuudeksi x ja ykkönen taajuudeksi y. Wikipediasta löytyy lisätietoa tästä ns. FSK-koodauksesta, jolla päästään jopa huimaan 300 bitin sekuntinopeuteen.

FFT:stä käytiin läpi pelkästään monisteen kaavat (3.2) ja (3.3), sekä niiden toteutus sivulla 48.

Z-muunnos on diskreettiaikaisen Fourier-muunnoksen (DTFT; s. 38) yleistys, ja muuntaa signaalin kompleksifunktioksi. Määritelmissä on eroa vain summan sisällä olevassa lausekkeessa, joka Z-muunnoksen tapauksessa on z, ja DTFT:n tapauksessa exp(iw). Jos siis tiedetään signaalin Z-muunnos, saadaan DTFT yksinkertaisesti sijoittamalla z = exp(iw).

Erityisen mielenkiintoinen Z-muunnos on silloin kun muunnettavana on suotimen impulssivaste (joka on signaali siinä kuin mikä tahansa muukin). Tällöin muunnoksen tuloksesta käytetään nimeä siirtofunktio. Siirtofunktio on rationaalifunktio, jonka osoittajassa ja nimittäjässä on polynomi. Kun tämä lauseke tiedetään, saadaan Fourier-muunnos em. sijoituksella. Tulos H(exp(iw)) on nimeltään taajuusvaste, ja siihen menee sisään reaaliluku w (taajuus josta ollaan kiinnostuneita), ja ulos tulee kompleksiluku. Tämän kompleksiluvun itseisarvo kertoo kuinka suuri vahvistus suotimella on kyseisellä taajuudella.

Kaiken kaikkiaan asia oli tänään varsin matemaattista. Jos tämä ahdistaa sinua, niin ensi viikolla helpottaa.